Einführung in die digitale Signalverarbeitung, Teil 2: Abtastung und Aliasing

Im ersten Teil dieser Serie, Einführung in die digitale Signalverarbeitung: die Grundlagen, habe ich die Vorteile digitaler Signalverarbeitung im Vergleich zu analoger Signalverarbeitung behandelt. Nun geht es darum, wie wir sie einsetzen können. Beginnen wir mit der Auswahl eines geeigneten Analog-Digital-Wandlers (Analogue-Digital Converter, ADC).

Kosinus-Wellenform mit 50 Hz, bei 1000 Hz abgetastet
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Spezifikationen abrufen

Vor der Auswahl eines ADC muss der Designer über bestimmte numerische Daten verfügen:

• Die maximale Frequenzkomponente im analogen Signal.
• Der Dynamikbereich des Analogsignals (Verhältnis von maximalem zu minimalem Eingangssignalpegel).
• Der erforderliche Störabstand des digitalisierten Signals.

Die Abtastrate festlegen

Die Abtastrate wird mit dem Nyquist-Kriterium festgelegt, d. h. sie muss mehr als doppelt so hoch wie die maximale Frequenzkomponente im analogen Signal sein. Dadurch wird zwar eine genaue Wiedergabe gewährleistet, eine wesentlich höhere Rate erleichtert jedoch die Entwicklung eines wichtigen Schaltkreises, der dem ADC vorausgeht, nämlich des Anti-Aliasing-Filters.

Was bei der Entwicklung eines Anti-Aliasing-Filters zu beachten ist

Die Frequenzdiagramme in Abb. 1 stellen das Aliasing grafisch dar. In diesem Beispiel tasten wir ein Basisbandsignal mit der maximalen Frequenzkomponente f_max (das grüne Band) mit einer Abtastfrequenz von f_S ab. Das Diagramm auf der linken Seite zeigt all die neuen Frequenzen im abgetasteten Signal ohne Alias. Beachten Sie, dass wir nun neue, auf die Abtastfrequenz f_S und ihre Oberschwingungen zentrierte Frequenzbänder (in blau) mit einer Breite von jeweils 2 x f_max haben. Dieses Signal wurde korrekt abgetastet, da f_S > 2 x f_max. Im Gegensatz dazu zeigt die Darstellung auf der rechten Seite ein übermäßiges Aliasing mit einander überlappenden Bändern, durch die im grünen Basisband fehlerhafte Frequenzen entstehen.

Die scheinbar redundanten Daten, die beim Abtastvorgang entstehen, d. h., die Kopien des Basisbands rund um die Abtastfrequenz und ihre Oberschwingungen, stellen keinen Grund zur Beunruhigung dar. Solange keine Überlappung auftritt (Aliasing), kann das ursprüngliche analoge Basisbandsignal genau rekonstruiert werden. Das Titelbild ist die grafische Darstellung einer einfachen, mit einer hohen Rate abgetasteten Kosinuswelle. Jede dieser vertikalen Linien repräsentiert den in diesem Moment abgetasteten Wert, der vom ADC in eine digitale Zahl umgewandelt und im Computer gespeichert wurde. Da eine Kosinuswelle nur eine Frequenzkomponente hat, sieht die letztendliche Frequenzdarstellung nach der Abtastung wie in Abb. 1 aus, jedoch nur mit den schwarzen und roten Linien. Beachten Sie, dass sich die Oberschwingungen der Abtastfrequenz bis in die Unendlichkeit erstrecken, da der Abtastimpuls „Nullbreite“ hat. Theoretisch.

Das praktische Problem besteht darin, dass nur wenige „Rohsignale“ ein schönes, sauberes f_max haben. Damit keine Alias-Komponenten produziert werden, muss dem ADC ein Tiefpassfilter vorgeschaltet werden. Abb. 2 zeigt das Zusammenspiel zwischen der Abtastrate und der Ordnung (Roll-off) des Tiefpassfilters. Der Konstrukteur kann eine extrem hohe Abtastrate wählen und anschließend einen einfachen Filter niedriger Ordnung verwenden oder sich für eine niedrigere Rate entscheiden und dann auf einen komplexen mehrpoligen Typ zurückgreifen.

Es muss jedoch vor der Festlegung der Abtastrate berücksichtigt werden, inwiefern das DSP-Gerät den Algorithmus zwischen zwei Abtastvorgängen verarbeiten kann. Möglicherweise erspart es später viel Ärger, wenn zunächst das DSP-Programm auf einem geeigneten Entwicklungssystem getestet und das Timing abgestimmt und erst dann die Abtastrate festgelegt und der Filter entwickelt wird.

Ein praktischer Anti-Aliasing-Filter

Häufig wird ein Analogfilter vom Typ Sallen-Key gewählt (Abb. 3). Dieser Schaltkreis ist für einen 2-poligen Butterworth-Filter (im Durchlassbereich maximal flach) mit einem Roll-off von 12 dB/Oktave vorgesehen. Wahrscheinlich ist ein 4- oder 6-poliger Typ erforderlich, um den erforderlichen Roll-off zu erreichen, doch der Sallen-Key-Schaltkreis lässt sich glücklicherweise kaskadieren.

Wenn R1 = R2 = R und C1 = C2 = C ist, dann ist die Abschaltfrequenz 1/2pRC Hz. Auch die Nutzverstärkung lässt sich mit K = 1 + (R3/R4) berechnen.

ADC-Auflösung (Anzahl der Bits/Abtastvorgang)

Welcher Dynamikbereich wird benötigt? Der Dynamikbereich (Dynamic Range, DR) ist das Verhältnis zwischen der kleinsten und der größten aufzulösenden Signalamplitude. Mit anderen Worten:

• DR = V_max / V_min = 2ⁿ oder in Dezibel: DR = 6,02n dB, wobei n = Anzahl der ADC-Bits ist

Sie können nun das Verhältnis zwischen Signal und Quantisierungsrauschen (Signal-to-Quantization Noise Ratio, SQNR) für eine bestimmte Anzahl von Bits berechnen.

• Für einen idealen ADC: SNR = DR +1,76 dB
• Für ungünstigste Bedingungen mit einem ADC-Linearitätsfehler von ½ LSB: SNR = DR – 4,24 dB

Beachten Sie, dass bei diesem SNR-Wert von einer rauschfreien Analogeingabe ausgegangen wird.

Tabelle 1 enthält eine Übersicht für einige gängige ADC-Größen. Es ist sehr verlockend, sich für eine der höheren Auflösungen zu entscheiden. Aus der Tabelle geht jedoch hervor, dass ein 8-Bit-ADC eine Abtastgenauigkeit von mehr als 0,5 % ergibt. Dies reicht für die meisten Anwendungen aus. Beachten Sie, dass die niedrigeren signifikanten Bits unbrauchbar werden, wenn das abgetastete Analogsignal verrauscht ist (also meistens). Ein ADC mit 16 Bit kann zwar theoretisch ein sehr kleines Signal auflösen. Wenn die 4 LSBs von Rauschen überschwemmt werden, ist das Ergebnis jedoch nicht besser als bei einem ADC mit 12 Bit.

Echte ADCs und Konvertierungszeit

Die Umwandlung von analog zu digital lässt sich auf verschiedene Weise erreichen. Wenn Sie einen Blick auf ein paar Datenblätter werfen, stoßen Sie auf Begriffe wie „Flash“ und „sukzessive Approximation“. Diese beziehen sich in der Regel auf die zur Konvertierung eines Abtastvorgangs benötigte Zeit. Bei den obenstehenden theoretischen Berechnungen wird von einer idealen Konvertierung ausgegangen, d. h. t_CONV = 0. Natürlich benötigen die Bauteile in der Realität eine bestimmte Zeit zur Konvertierung, in der sich das Eingangssignal ändern kann. Dies muss bei der Konstruktion berücksichtigt werden und kann zu schwerwiegenden Ungenauigkeiten führen, wenn die Abtastrate nahe an der Nyquist-Grenze liegt und t_CONV einen erheblichen Anteil der Abtastdauer ausmacht. Möglicherweise benötigen Sie eine Sample-and-Hold-Schaltung, um die gewünschte Leistung zu erzielen. Glücklicherweise verfügen moderne Mikrocontroller/DSPs in der Regel über diese Funktionalität.

Das nächste Mal

Es wird um das andere Ende unseres DSP-Systems gehen, an dem die verarbeiteten digitalen Daten in der Regel (aber nicht immer) mit einem Digital-Analog-Wandler (Digital to Analogue Convertor, DAC) wieder in analoge Abtastwerte umgewandelt werden. Die dazwischen liegende digitale Signalverarbeitung ändert die Form des Frequenzdiagramms nur für das Basisband: Alle Oberschwingungen des Abtastvorgangs bleiben erhalten. Beim DAC-Design ist Sorgfalt geboten, um unerwünschte Verzerrungen zu vermeiden, wenn das abgetastete Signal wieder in eine kontinuierliche analoge Form umgewandelt wird.